\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\large

\begin{center}
  \Large{Gé./Szigorlat/2011/12/V.Nagy}  

  Amit a Gépész Matematika Szigorlatra tudni kell
  \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Egyszerű számsorozatok \underline{határértékének} meghatározása, $\sum a_k$ sor konvergenciájának eldöntése (hányados-, gyök-, összehasonlító kritérium), ill. geometriaira vezethető sor összegének meghatározása.
 \item $f: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ fv. határértékének meghatározása (L'Hospital szabállyal is), szakadási helyek típusa, folytonossá tétel.
 \item $f: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ fv. \underline{teljes függvényvizsgálat}ának elvégzése (asszimptoták is).
 \item $f: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ fv. lokásil közelítése \underline{érintő egyenessel, Taylor polinom}mal.
 \item $f: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ fv. globális közelítése/előállítása \underline{Fourier sor}ral, Fourier sor összegfüggvényének értéke a fv. szakadási pontjaban.
 \item Egyváltozós valós fv.ek határozatlan, határozott integráljának meghatározása (parciális integrálás, parciális törtekre bontás, helyettesítés stb).
 \item Mátrix és vektorok közti műveletek elvégzése, mátrix rangjának, determinánsának, inverzének meghatározása.
 \item Mátrix sajátértékének, sajátvektorának meghatározása ($n=2, 3$), egyszerű mátrixegyenletek megoldása.
 \item Lineáris homogén, inhomogén egyenletrendszer megoldása Gauss algoritmussal, egy paramáter esetén a megoldhatóság vizsgálata.
 \item Kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása főtengely transzformációval ($n=2$ esetén).
 \item Feltételes szélsőérték feladatok megoldása (egy vagy két) egyenlőség típusú mellékfeltétellel a Lagrange szorzók módszerével (vagy a helyettesítés módszerével).
 \item Két ill. három változós valós fv. lokális szélsőértékeinek meghatározása.
 \item Korlátos és zárt, egyszerű síkbeli tartomáyon (téglalap, háromszöglemez, körlemez, vagy ezek részei) kétváltozós valós fv. abszolút szélsőérték helyének és értékének meghatározása.
 \item Adott $\underline{v}:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ és $f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}$ fv.ek esetén $\operatorname{rot} \underline{v}, \operatorname{div} \underline{v}, \operatorname{grad}f, \Delta f, \Delta\underline{v}$ meghatározása (adott pontban is).
 \item Adott $\underline{v}:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ és $f:\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}$ fv.ek lineáris approximációja Jacobi mátrix és $\operatorname{grad}$ segítségével (totális derivált).
 \item Egyszerű térgörbén értelmezett skalár- és vektorértékű fv. integráljának kiszámítása (első és második fajú vonalintegrál).
 \item Adott térgörbe ívhosszának, súlypontának, geometriai középpontjának, tömegének meghatározása.
 \item Adott vektormezőről el kell tudni dönteni, hogy potenciálos-e (konvervatív). Ha igen, akkor meg kell tudni adni egy primitív fv.t ill. egy potenciál fv.t.
 \item Adott vektormezőről el kell tudni dönteni, hogy létezik-e vektorpotenciálja és ha igen, akkor egyet meg kell tudni adni.
 \item Görbementi integrál kiszámítása potenciálos vektormező esetén primitív fv. segítségével.
 \item Síkbeli és térbeli normáltartományon két ill. háromváltozós, valós fv. integrálját ki kell tudni számolni (integrál-transzformációs képlettel is).
 \item Egyszerű felületeken első- és másodfajú felületi integrálokat ki kell tudni számolni (háromszöglemez, hengerfelület, kúpfelület, gömbfelület).
 \item Stokes tételét és a Gauss tételét (Green tételét) kell tudni alkalmazni (gömb, henger, téglatest, kúp és ezek részei esetén, $n=2,3$)
 \item Felület felszínét kettős integrállal, egyszerű test térfogatát (lehet forgástest is) integrállal ki kell tudni számolni.
 \item Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet (kezdeti feltétellel is) meg kell tudni oldani (egzakt, szétválasztható változójú ill. ezekre visszavezethető, lineáris inhomogén).
 \item Másodrendű közönséges differenciál egyenleteket (kezdeti feltétellel is) meg kell tudni oldani az alábbi típusokból:
   \begin{description}
     \item[-] hiányos másodrendű
     \item[-] állandó együtthatós inhomogén (rezonancia is)
   \end{description}
 \item $\dot{\underline{x}}=\underline{\underline{A}}\cdot \underline{x}+\underline{b}(t)$ 
  lineáris, inhomogén differenciál-egyenlet rendszer megoldását egyszerű $\underline{b}(t)$ mellett elő kell tudni állítani (komplex eset is).
 \item Egyszerű Laplace transzformáltakat ki kell tudni számolni.
\end{enumerate}

\end{document}
