\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{5. Gyak.}
  
  Integrál-átalakító tételek
  \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item \underline{Igazolja Stokes tételét}, ha $S$ az alábbi kúppalást: $z=4-x^2-y^2, z\geq0$ és $\underline{v}(x, y, z)=
                 \left(\begin{array}{c}
                   z-y \\
				   x+y \\
				   -x-y
                 \end{array}\right)$
 \item A \underline{Stokes tétel} segítségével számolja ki az alábbi intregrált:
   \begin{align*}
     & \oint_{\partial S} \left(\begin{array}{c}
                           y \\
		          		   z \\
				           x
                        \end{array}\right)\underline{\operatorname{d}x} & \text{, ha } \partial S=\left\{(x, y, z) | x^2+y^2+z^2=4, x+y+z=0\right\}
   \end{align*}
 \item A \underline{Green tétel} segítségével számolja ki az alábbi intregrált (Green tétel $\equiv$ Stokes tétel $n=2$-re):
   \[
    \oint_{|\underline{x}|=1} \left(\begin{array}{c}
                              x \cdot e^x -y^3\\
		          		      \cos y^2+x^3
                        \end{array}\right)\underline{\operatorname{d}F}
   \]
	
  \item A \underline{Gauss tétel} segítségével számolja ki az alábbi felületi intregrált:
   \begin{align*}
     & \iint_{S} \left(\begin{array}{c}
                           x^2+e^{yz} \\
		          		   y-z \arctan x \\
				           x^2y^3
                        \end{array}\right)\underline{\operatorname{d}x}
						& \text{, ahol } S=\underbrace{\left\{x^2+y^2=4, 0\leq z\leq3\right\}}_{\text{hengerpalást}} \bigcup
						                  \underbrace{\left\{x^2+y^2\leq4, z=3\right\}}_{\text{fedőlap}}
   \end{align*}
 \item Legyen $\underline{v}(\underline{x})=
                 \left(\begin{array}{c}
                   2y+z+x \\
				   2x-2y+3z \\
				   3y+x+z
                 \end{array}\right)$ és legyen $S$ egy kúppalást: $x^2+y^2=1-z$ ($0\leq z\leq1$). Számolja ki az $\iint_S \underline{v} \ \underline{\operatorname{d}F}$ értélét
  \begin{enumerate}
   \item a Gauss tétel segítségével,
   \item a Stokes tétel segítségével úgy, hogy megadunk egy vektorpotenciált.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
