\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{3. Gyak.}
  
  Potenciálok
  \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 \[
   \underline{v}(\underline{x}):= (y^2+\alpha x y z)\underline{i}+(2x y+x^2 z)\underline{j}+(\beta x^2 y+2z)\underline{k}
 \]
  \begin{enumerate}
   \item Milyen $\alpha, \beta$ paraméterek esetén lesz $\underline{v}$ potenciálos?
   \item Erre az $\alpha, \beta$-ra adjon meg egy skalár potenciált úgy, hogy $f(1,1,1)=0$ legyen! ($\operatorname{grad}f=\underline{v}$)
  \end{enumerate}
 \item 
  \begin{enumerate}
    \item Mutassa meg, hogy a $\underline{v}(\underline{x})=(2x y+z^3)\underline{i}+x^2\underline{j}+3xz^2\underline{k}$ erőtér konzervatív!
	\item Adjon meg egy skalárpotenciált!
	\item Mekkora munkát végez az erőtér, ha a tömegpontot az $A(1, -2, 1)$ pontból a $B(-1, 0, 3)$ pontba viszi?
	\item $\tilde{f}(\underline{x}):=\int_{0}^{\underline{x}} \underline{v}(\underline{x}') \underline{\operatorname{d}x'}$ (ahol a $0-\underline{x}$ szakaszon integrálunk, $\operatorname{grad}\tilde{f}=?$)
  \end{enumerate}
 
 \item $\underline{v}(\underline{x})=\frac{3\underline{x}}{|\underline{x}|^3}$, $\oint_C \underline{v} \ \underline{\operatorname{d}x} =?$ 
    \begin{enumerate}
	  \item $C: \begin{cases}
                    x^2+y^2+z^2=1 & \\
                    x+y+z=0 & 
               \end{cases}$
	  \item $C$ egy $A(1, 0, 0)$-ból induló, $h=1$ menetmagasságú csavarvonal $2$ menete.
	     \begin{center}
		   \includegraphics[width=7cm]{C3}
		 \end{center}
	\end{enumerate}
	
  \item
   \begin{enumerate}
     \item Mutassa meg, hogy a $\underline{w}(\underline{x})=(x+2y+4z)\underline{i}+(2x-3y-z)\underline{j}+(4x+2z-y)\underline{k}$ vektormezőnek van vektorpotenciálja!
	\item Adjon meg egy vektorpotenciált!
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
