\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{times}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{array, fullpage, multicol}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{\textbf{Bsc/A3/Gé/1.HF/2011 őszi félév (V. Nagy)}}\\
  \Large{Leadási határidő: az 1. ZH hetének gyakorlatán (7. hét) a gyak.~vezér részére (olvashatóan, kézzel írva!)}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Legyen $\underline{v}(\underline{x})=(2y^2x^2, 2x-y^3, z^3-2xy)^{\top}$, $\underline{g}(\underline{x})=(\frac{x}{y}, \sqrt{xyz}, 2z+y)^{\top}$,
      $\underline{x}_0=(1,1,1)^{\top}$.
	  \begin{enumerate}
	   \item $\operatorname{div}\underline{v}, \operatorname{rot}\underline{v}, {\underline{\underline{J}}}_{\underline{v}}=?$
	   \item $\operatorname{div}\underline{v}(\underline{x}_0), \operatorname{rot}\underline{v}(\underline{x}_0), {\underline{\underline{J}}}_{\underline{v}}(\underline{x}_0)=?$
	   \item $\nabla(\underline{v}\cdot \underline{g})=?$, $\nabla \times (\underline{v} \times \underline{g})=?$, $\nabla \cdot (\underline{v} \times \underline{g})=?$
	   \item Adjon közelítést $\underline{v}(\tilde{\underline{x}})$-ra a totális derivált segítségével, ha $\tilde{\underline{x}}=(0.99 ; 1.02 ; 1.08)^{\top}$
	  \end{enumerate}
 \item Legyen $f(\underline{x})=2xy+zx^2, \underline{v}(\underline{x})=(-x, y+z, -zx)^{\top}$.
      Mutassa meg, hogy
	  \begin{enumerate}
	   \item $\operatorname{div}(f \cdot \underline{v})=f \cdot \operatorname{div}(\underline{v})+\underline{v} \cdot \operatorname{grad}(f)$
	   \item $\operatorname{rot}(f \cdot \underline{v})=f \cdot \operatorname{rot}(\underline{v})+\operatorname{grad}(f)\times\underline{v}$
	  \end{enumerate}
 \item $\underline{w}(t)=(\cos^3 t, \sin^3 t), t\in[0, \frac{\pi}{2}]$, adja meg a görbe \underline{ívhosszát} és \underline{geometriai középpontját}!
 \item Legyen a $C$ görbe az $A(1, -1, 2)$ és $B(5, 0, -3)$ pontokat összekötő szakasz.
    \begin{multicols}{2}
	  \begin{enumerate}
	   \item $\int_{C}(2x-3y+z)\operatorname{d}s=?$
	   \item $\int_{C}(x y \underline{i}-z x \underline{j}+2 y z \underline{k})\underline{\operatorname{d}x}=?$
	  \end{enumerate}
	\end{multicols}
 \item \begin{enumerate}
	    \item $\int_{C}(x^2 y, x-z, x z)\underline{\operatorname{d}x}=?$, ha $C:y=x^3, 0\leq x \leq 2, z=2$
	    \item $\int_{C}(x^2, y^2, z^2)\underline{\operatorname{d}x}=?$, ha $C: AB \text{ szakasz }+BC \text{ negyedkörív }+CD \text{ szakasz }$.
		\begin{center}
		 \includegraphics[width=8cm]{C}
		\end{center}
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Határozza meg a $\lambda$ értékét úgy, hogy az alábbi vektormező \underline{potenciálos} legyen!
             \[
             (x^2+5\lambda y+3y z, 5x+3\lambda x z-2, (2+\lambda)x y-4z)^\top
             \]
		\item Adjon meg erre a $\lambda$-ra egy \underline{skalárpotenciált}!
		\item $\int_{C} \underline{v}(\underline{x})\underline{\operatorname{d}x}=?$, ha $C$ egy csavarvonal egy menete ($r=2, h=2$).
		     \begin{center}
		       \includegraphics[width=8cm]{C2}
		     \end{center}
	   \end{enumerate}
 \item Legyen $\underline{w}(\underline{x})=(z-y)\underline{i}+(x+z)\underline{j}-(x+y)\underline{k}$.
      \begin{enumerate}
	    \item Mutassa meg, hogy $\underline{w}$-hez létezik \underline{vektorpotenciál}!
		\item Adjon meg egy vektorpotenciált!
		\item $\iint_S \underline{w} \ \underline{\operatorname{d}F}=?$ ha $S: x^2+y^2+z^2=4, x\geq 0$
	  \end{enumerate}
 \item Számítsa ki az alábbi \underline{első fajú felületi integrálokat}: $\iint_{S_i} f \operatorname{d}F$, ha $f(x, y, z)=2x-3y+z$!
      \begin{enumerate}
	   \item $S_1: A(2,0, 0), B(0,1, 0), C(0, 0, 3)$ háromszöglap
	   \item $S_2: x^2+y^2+z^2=4, x\geq0$ (félgömbfelület)
	   \item $S_3: x^2+y^2=9, -1\leq z\leq2$ (hengerpalást)
	  \end{enumerate}
 \item Számítsa ki az alábbi \underline{másodfajú felületi integrálokat}: $\iint_{S_i} \underline{v} \ \underline{\operatorname{d}F}$, ha
      $\underline{v}(\underline{x})=3 y x\underline{i}+z y \underline{j}-2x \underline{k}$ és $S_i$ az előző feladatban szereplő felületek!
 \item Mutassa meg, hogy teljesül a \underline{Stokes tétel}, ha $\underline{v}(\underline{x})=(x y^2, y^2, y^2 z)^\top$ és $S: x^2+y^2+z^2=1, z\leq0$!
 \item Legyen $\underline{v}(\underline{x})=(x+2y, z+y, 2x-z)^\top$, $S$ legyen az $x^2+y^2+z^2\leq1$ gömb és az $x-2y+3z=0$ sík metszeteként előálló körlap.
       \[
        \iint_{S} \operatorname{rot}\underline{v} \ \underline{\operatorname{d}F}=?
       \]
       Használjon Stokes tételt!
 \item Legyen $\underline{v}(\underline{x})=(xz, xy, -z)^\top$ és legyen a $G$ test az $x^2+y^2\leq z^2$ kúp, $\partial G$ legyen a határfelülete:
      alaplap és palást. Mutassa meg, hogy teljesül \underline{Gauss tétele}!
 \item \[
        \iint_{S} (e^{y z}+x, \cos x z^2+2y, x^2 y^2+z)^\top \underline{\operatorname{d}F}=?
      \]
	  ha $S:x^2+y^2+z^2=4, z\geq 0$ (Használja Gauss tételét!)
\end{enumerate}

\end{document}