\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{times}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{array, fullpage, multicol}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{\textbf{Bsc/A2/Gé/1.HF/2011 tavaszi félév (V. Nagy)}}\\
  \Large{Leadási határidő: az 1. ZH hetének gyakorlatán (5. hét) a gyak.~vezér részére (olvashatóan, kézzel írva!)}
\end{center}

\subsection*{Vektorok térben}
 \begin{enumerate}
 \item
 Legyen $A=(3, -2, -3)$, $B=(4, 3, -1)$, $C=(-2, 2, 0)$, $D=(-1, -2, 4)$.
 (Az $A, B, C, D$ pontokba mutató helyvektorokat jelölje: $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{d}$)
 \begin{enumerate}
 
  \item Mennyi az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ által meghatározott \underline{parallelogramma területe}? $\cos \sphericalangle(\underline{a}, \underline{b})=?$

  \item Az $\overrightarrow{AD}$ vektort bontsa fel $\overrightarrow{AC}$-vel $\parallel$ és $\overrightarrow{AC}$-re $\perp$ \underline{összetevők} összegére!
  
  \item $ABC \underline{ \bigtriangleup \ \text{területe}}=?$
  
  \item $A, C, D$ pontok által meghatározott \underline{sík egyenletét} írja fel!
  
  \item $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ által meghatározott \underline{parallelepipedon térfogata}?
  
  \item $A, B, C, D$ pontol által meghatározott \underline{tetraéder térfogata}?

  \item $A, C$ pontok által meghatározott $e$ \underline{egyenes egyenlete}?

  \item Az $e$ \underline{egyenes és a $B$ pont} távolsága?

  \item Adja meg azon $f$ \underline{egyenes egyenletét}, amely $\perp$ a $D, C, B$ pontok síkjára és átmegy az $A$ ponton!

  \item A $\underline{c}, \underline{d}, \underline{b}$ vektorok jobbrendszert alkotnak-e?

  \item $2 \underline{a}, \underline{b}-\underline{c}, |\underline{c}| \cdot \underline{b}^0$ vektorok \underline{lineárisan összefüggőek-e}? (egy síkon vannak-e?)

  \item Adja meg a $\underline{b}, \underline{c}$ által meghatározott \underline{parallelogramma} két \underline{átlóját} és ezek \underline{hosszát}!

  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 

 \subsection*{Műveletek mátrixokkal}
 
 \begin{description}
  \item[274] Határozzuk meg az $\underline{A}+\underline{B}, \underline{A}-\underline{B}, 5\underline{B}-\underline{A}$ mátrixokat, ha
      \[
        \underline{A}=\begin{bmatrix}
                        1 & 2 \\
                        -1 & 3\\
	                    0 & 1 \\
						2 & -1
                      \end{bmatrix},
		\underline{B}=\begin{bmatrix}
                        0 & -1 \\
                        1 & -4\\
	                    1 & -1 \\
						2 & 2
                      \end{bmatrix}
      \]
  \item[276] Határozzuk meg az $\underline{A}\underline{B}$ és $\underline{B}\underline{A}$ mátrixokat, ha
   \begin{description}
    \item[(b)] 
      \[
        \underline{A}=\begin{bmatrix}
                        2 & -1 & 3 \\
                        -1 & 0 & 2
                      \end{bmatrix},
		\underline{B}=\begin{bmatrix}
                        3 & 2 \\
                        1 & 4\\
	                    2 & 2
                      \end{bmatrix}
      \]
	\item[(c)]
	  \[
        \underline{A}=\begin{bmatrix}
                        2 & 0 & 0 \\
                        4 & 1 & 0 \\
						-5& 3 & 4
                      \end{bmatrix},
		\underline{B}=\begin{bmatrix}
                        -3& 1 & -1\\
                        0 & 1 & 5 \\
	                    0 & 0 & 6
                      \end{bmatrix}
      \]
   \end{description}
  
  \item[279] Határozzuk meg az $(\underline{A}\underline{B})\underline{C}$ és $\underline{A}(\underline{B}\underline{C})$ mátrixokat, ha
      \[
        \underline{A}=\begin{bmatrix}
                        2 & 5 \\
                        -1& 3 \\
						0 & 4
                      \end{bmatrix},
		\underline{B}=\begin{bmatrix}
                        5 & -2& 3 & 0 \\
                        1 & 4 & 6 & 5
                      \end{bmatrix},
		\underline{C}=\begin{bmatrix}
                        -3& 5 & -2\\
                        2 & 1 & 1 \\
						0 & 3 & 2 \\
						1 & 4 & 5
                      \end{bmatrix}
      \]
  \item[285 (a)]
   Bontsuk fel a következő mátrixot egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegére!
      \[
        \begin{bmatrix}
                        -4& 2 & 3 \\
                        1 & -1& 2 \\
						8 & -6& 5
                      \end{bmatrix}
      \]
  \item[286] Végezzük el a következő szorzásokat!
   \begin{description}
    \item[(a)]
	  \[
        \begin{bmatrix}
                        x & y 
                      \end{bmatrix} \cdot
		\begin{bmatrix}
                        17& 6 \\
                        6 & 8 
                      \end{bmatrix} \cdot
	    \begin{bmatrix}
                        x \\
                        y
                      \end{bmatrix}
      \]
	\item[(c)]
	  \[
        \begin{bmatrix}
                        x & y & z
                      \end{bmatrix} \cdot
		\begin{bmatrix}
                        7 & -2& 0 \\
                        -2& 6 & -2\\
						0 & -2& 5
                      \end{bmatrix} \cdot
	    \begin{bmatrix}
                        x \\
                        y \\
						z
                      \end{bmatrix}
      \]
   \end{description}
      
 \end{description}

\subsection*{Számítsuk ki a következő determinánsok értékét}
 \begin{multicols}{3}
 \begin{description}
 
  \item[238] 
    \[\left|
	  \begin{array}{ccc}
        2 & 1 & 3 \\
		4 & 3 & 7 \\
		1 & 7 & 8
      \end{array}
    \right|\]
  \item[240] 
    \[\left|
	  \begin{array}{ccc}
        5 & -3& 11\\
		3 & -9& 5 \\
		1 & -4& -12
      \end{array}
    \right|\]
	\item[244] 
    \[\left|
	  \begin{array}{cccc}
        3 & 1 & 1 & 1 \\
		1 & 3 & 1 & 1 \\
		1 & 1 & 3 & 1 \\
		1 & 1 & 1 & 3
      \end{array}
    \right|\]
 
 \end{description}
 \end{multicols}
 
\subsection*{Számolja ki az inverzet}
 \begin{description}
  \item[287] 
  \begin{multicols}{3}
  \begin{description}
   \item[(a)]
    \[ \begin{bmatrix}
         3 & 5 \\
         7 & -9
       \end{bmatrix}
    \]
  \item[(c)]
    \[ \begin{bmatrix}
        1 & 2 & -3\\
		0 & 1 & 2 \\
		1 & 0 & 4
       \end{bmatrix}
    \]
  \item[(d)]
    \[ \begin{bmatrix}
        1 & 2 & 1 \\
		4 & 3 & -2\\
		-5& -4& -1
       \end{bmatrix}
    \]
  \end{description}
  \end{multicols}
 \end{description}
 
 \subsection*{Mátrixegyenlet}
 Oldja meg az alábbi egyenleteket!
 \begin{description}
  \item[289] $
      \underline{X} \cdot
	  \begin{bmatrix}
        7 & 9 \\
		4 & 5
      \end{bmatrix} =
	  \begin{bmatrix}
        4 & 1 \\
		-1& -3
      \end{bmatrix}
    $
  
  \item[290] $
     \begin{bmatrix}
        2 & -1\\
		3 & -2
      \end{bmatrix} \cdot
	 \underline{X} \cdot
	  \begin{bmatrix}
        -5& 1 \\
		2 & 3
      \end{bmatrix} =
	  \begin{bmatrix}
        1 & -1\\
		2 & -3
      \end{bmatrix}
    $
	
  \item[291] $
      \begin{bmatrix}
        2 & 3 & 1 \\
		4 & -1& 1 \\
		5 & 1 & 1
      \end{bmatrix} \cdot \underline{X} =
	  \begin{bmatrix}
        1 & -3& 2 \\
		5 & -1& 5 \\
		1 & -1& 3
      \end{bmatrix}
    $
	
  \item[292] $
      \underline{X} \cdot
      \begin{bmatrix}
        1 & -1& -2\\
		2 & -1& -1\\
		-1& 3 & 2
      \end{bmatrix} =
	  \begin{bmatrix}
        -1& 1 & -1\\
		3 & -1& 2 \\
		2 & 2 & 1
      \end{bmatrix}
    $
 \end{description}
 
 \subsection*{Mennyi a mátrix rangja}
  \begin{description}
   \item[293] \[
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 & 1 \\
		1 & 2 & -1\\
		1 & 3 & -1\\
		1 & 4 & 3
     \end{bmatrix}
   \]
   
   \item[294] \[
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 & 1 & 1 \\
		1 & -1& 3 & 5 \\
		1 & 2 & 0 & -1\\
		1 & -2& 4 & 7
     \end{bmatrix}
   \]
   
   \item[295] \[
     \begin{bmatrix}
        3 & 4 & 1 & 1 \\
		-4& -3& -6& -1\\
		1 & 1 & 1 & -1\\
		2 & 2 & 2 & -1
     \end{bmatrix}
   \]
  \end{description}
 
 \subsection*{Lineáris egyenletrendszerek \small{(Gauss algoritmus)}}
 Vizsgáljuk a következő egyenletrendszereket megoldhatóság szempontjából. Ha megoldható, akkor írjuk is fel a megoldást.
 
 \begin{description}
 \item[300] 
   \begin{flalign*}
    2 x_1 +3 x_2 -  x_3+5 x_4 & = 0, \\
	3 x_1 -  x_2+ 2 x_3-7 x_4 & = 0, \\
	4 x_1 + x_2 -3 x_3 + 6x_4 & = 0, \\
	x_1 -2 x_2 + 4 x_3 -7x_4 &  = 0
   \end{flalign*}
 
 \item[302] \[
   \begin{bmatrix}
        3 & 4 & -5& 7 \\
		2 & -3& 3 & -2\\
		4 & 11&-13& 16\\
		7 & -2& 1 & 3
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3\\
		x_4
   \end{bmatrix} = \underline{0}
   \]
   
 \item[311] \[
   \begin{bmatrix}
        1 & 3 & 2 \\
		2 & -1& 3 \\
		3 & -5& 4 \\
		1 & 17& 4
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        0 \\
		0 \\
		0 \\
		0
   \end{bmatrix}
   \]

 \item[312] \[
   \begin{bmatrix}
        1 & -2& 1 & -1& 1 \\
		2 & 1 & -1& 2 & -3\\
		3 & -2& -1& 1 & -2\\
		2 & 5 & 1 & -2& 2
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3\\
		x_4 \\
		x_5
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        0 \\
		0 \\
		0 \\
		0
   \end{bmatrix}
   \]
   
 \item[303] \[
   \begin{bmatrix}
        2 & -1& -1\\
		3 & 4 & -2\\
		3 & -2& 4
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        4 \\
		11\\
		11
   \end{bmatrix}
   \]
   
 \item[307] \[
   \begin{bmatrix}
        1 & 1 & 2 & 3 \\
		3 & -1& -1& 2 \\
		2 &  3& -1& -1\\
		1 & 2 & 3 & -1
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3 \\
		x_4
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        1 \\
		-4\\
		-6\\
		-4
   \end{bmatrix}
   \]
   
 \item[310] \[
   \begin{bmatrix}
        2 & -1& 2 \\
		3 & 1 & -5\\
		4 & -1& 1 \\
		1 & 3 & -13
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        3 \\
		0 \\
		3 \\
		-6
   \end{bmatrix}
   \]
   
 \item[316] \[
   \begin{bmatrix}
        1 & 1 & -3\\
		2 & 1 & -2\\
		1 &  1& 1 \\
		1 & 2 & -3
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        -1\\
		1 \\
		3 \\
		1
   \end{bmatrix}
   \]
   
 \item[319] \[
   \begin{bmatrix}
        1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
		3 & 2 & 1 & 1 & -3\\
		0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\
		5 & 4 & 3 & 3 & -1
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2\\
		x_3 \\
		x_4 \\
		x_5
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        7 \\
		-2\\
		23\\
		12
   \end{bmatrix}
   \]
 \end{description}
 
\subsection*{Lineáris egyenletrendszer paraméterrel}
 A $\lambda$ paramétertől függően vizsgáljuk és oldjuk meg a következő egyenletrendszereket.
 \begin{description}
  \item[323] \[
   \begin{bmatrix}
        3 & 1 & -1& -1\\
		1 & -1& 1 & -1\\
		1 & 3 & -3& 1 \\
		1 & 5 & 5 & -3
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
		x_4
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        2 \\
		0 \\
		2 \\
		\lambda
   \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[325] \[
   \begin{bmatrix}
        \lambda & 1 & 1 & 1 \\
		1 & 1+\lambda& 1 & 1\\
		1 & 1 & 1+\lambda& 1 \\
		1 & 1 & 1 & 1
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
		x_4
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        1 \\
		3 \\
		4 \\
		1
   \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[327] \[
   \begin{bmatrix}
        \lambda & 2 & 3& 3\\
		2 & 3+\lambda& 6 & 6\\
		3 & 6 & 8+\lambda& 9 \\
		3 & 6 & 9 & 8+\lambda
   \end{bmatrix} \cdot
   \begin{bmatrix}
        x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
		x_4
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
        1 \\
		\lambda+1 \\
		\lambda+2\\
		\lambda+2
   \end{bmatrix}
   \]
 \end{description}
 
\subsection*{Sajátérték, sajátvektor}
 Határozzuk meg a következő mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait. Szimmetrikus mátrixok esetén az egység-sajátvektorokból mint oszlopvektorokból
 állítsuk elő az $M$ mátrixot is.
 
 \begin{multicols}{3}
 \begin{description}
  \item[362]
   \[
     \begin{bmatrix}
        1 & 3 \\
		3 & 1
     \end{bmatrix}
   \]
  
  \item[363]
   \[
     \begin{bmatrix}
        5 & 3 \\
		3 & 5
     \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[364]
   \[
     \begin{bmatrix}
        4 & 2 \\
		2 & 1
     \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[369]
   \[
     \begin{bmatrix}
        4 & 0 & 2 \\
		0 & 2 & -2\\
		2 & -2& 3
     \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[370]
   \[
     \begin{bmatrix}
        1 & 2 & -4\\
		2 & -2& -2\\
		-4& -2& 1
     \end{bmatrix}
   \]
   
  \item[373]
   \[
     \begin{bmatrix}
        -2& -8&-12\\
		1 & 4 & 4 \\
		0 & 0 & 1
     \end{bmatrix}
   \]
   
 \end{description}
 \end{multicols}
 
\subsection*{Másodrendű görbék \small(főtengely transzformáció)}
\begin{description}
 \item[377]
  Ábrázoljuk a következő egyenletekkel adott másodrendű görbéket:
 \begin{description}
  \item[(c)]
    $7 x^2+ 6 x y-y^2+28 x+12 y+28=0$
  \item[(f)]
    $16 x^2 -24x y+5 y^2-160 x+120 y+425=0$
 \end{description}
\end{description}

\end{document}