\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{9. Gyak.}
  \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item \textbf{Integrálkritérium számsorra} Konvergensek-e az alábbi sorok?
  \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
   \item $\sum_{n=1}^\infty n e^{-n^2}$
   \item $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{(n^2+1)^2}$
   \item $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log n}$
   \item $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \left(\log n\right)^\alpha}$
   \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos 2n}{e^{3n}}$
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \item \textbf{Függvény sor, hatványsor, konvergencia sugár} Mi a konvergencia tartomány?
  \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
    \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin x n}{2^n}$
	\item $\sum_{n=0}^\infty e^{-n x}$
	\item $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos n x}{n^2+x^2}$
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \item Egyenletes-e a konvergencia?
  \[
   \lim_{n\to \infty} n x e^{-n x}=?
  \]  
 \item 
 \[
   f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \hspace{1cm}  g(x)=\sum_{k=1}^\infty x^k(1-x)
 \]
  \begin{enumerate}
    \item Milyen $x$-re definiált $f$ és $g$? (Értelmezési tartomány)
    \item Hol lesz $f$ és $g$ folytonos?
	\item Hol lehet tagonként deriválni ill. integrálni a sort?
  \end{enumerate}
 \item \textbf{Hatványsorok} Állapítsa meg a konvergencia tartományt!
  \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
    \item $\sum_{k=1}^\infty k x^k$
	\item $\sum_{k=0}^\infty k! (x-5)^k$
	\item $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{n^2}$
	\item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!}$
	\item $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k 4^k}$
	\item $\sum_{k=1}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k$
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \item Fejtse hatványsorba a függvényt, határozza meg a konvergencia tartományt!
   \begin{enumerate}
     \item $\cos \sqrt{x}$
	 \item $\sin x \cos x$
	 \item $e^{-x^2}$
	 \item $\sinh^2 x$
	 \item $(1+x)^{-3}$
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{document}
