\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{7. Gyak.}
  \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Folytonos-e $f$ a $(0,0)$ pontban?
  \begin{multicols}{2}  \begin{enumerate}
   \item $f(x, y)=\begin{cases}
	            \frac{x^2 y}{x^2+y^2} & , (x, y)\neq (0, 0) \\
				0 & , \text{különben}
	           \end{cases}$
	\item $f(x, y)=\begin{cases}
	            \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} & , (x, y)\neq (0, 0) \\
				0 & , \text{különben}
	           \end{cases}$
  \end{enumerate} \end{multicols}
  
  \item $f(x, y, z)=2x^2z-3xz^2+2xy, \ \underline{v}= \left( \begin{array}{c}
                                                       1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right), \ 
									   \underline{x}_0=\left( \begin{array}{c}
                                                       2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$
  \begin{enumerate}
   \item $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}=?$ \ $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x}_0)=?$
   \item $\frac{\partial f}{\partial x}=?$ \ $\frac{\partial f}{\partial y}=?$ \ $\frac{\partial f}{\partial z}=?$
   \item $\Delta f=?$ (Laplace)
   \item $(\operatorname{d}f)(\underline{x}_0, \underline{x})=?$
   \item $\hat{\underline{x}}:=\left( \begin{array}{c}
                      1.99 \\ 0.98 \\ -0.99 \end{array} \right)$
		
		 $\Delta f:=f(\underline{x})-f(\underline{x}_0)=?$ (pontos megváltozás), \ $\Delta f\approx (\operatorname{d}f)(\underline{x}_0, \underline{x})=?$, \ 
		 $\Delta f- \operatorname{d}f=?$
   \item $f(\hat{\underline{x}})$-et közelítse a \underline{totális derivált} segítségével!
  \end{enumerate}
  
 \item $f=z\cdot \sqrt{y^2+\frac{x}{2}}$, \ $\underline{x}_0^\top=(10, 2, 4)$, \ $\hat{\underline{x}}^\top=(10, 1.99, 4.02)$
  \begin{enumerate}
   \item közelítőleg mekkor lesz $f(\hat{\underline{x}})$?
   \item közelítőleg mennyit változik $f$, ha $\underline{x}_0$-ról $\hat{\underline{x}}$-ra térünk át?
   \item hány $\%$-kal változik meg az $f$ értéke, ha (az $\underline{x}_0$-ban) az első változót $2\%$-kal, a második változót $4\%$-kal növeljük,
         a harmadik változót pedig $3\%$-kal csökkentjük?
  \end{enumerate}
 
 \item  $f(x, y)=x^3\cdot \sqrt{y}+2y^2\cdot \sqrt[3]{x}$, \ $\underline{x}_0=(1, 1)$
  \begin{enumerate}
    \item Adja meg az $\underline{x}_0$-beli érintősík egyenletét!
	\item Legyen $\Delta x=-0.001, \Delta y=0.01$ Mennyit változik a függvény érték közelítőleg?
	\item Valamelyik változót $10\%$-kal növelhetjük. Melyik legyen az, ha nagyobb függvényértéket akarunk elérni?
  \end{enumerate}
  
 \end{enumerate}

\end{document}
