\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{5. Gyak.}
  \end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
 \item
  \[
   A=\begin{bmatrix}
          -2 & -8 & -12 \\
          1 & 4  & 4 \\
		  0 & 0 & 1
         \end{bmatrix}
  \]
  \begin{enumerate}
   \item Adja meg $A$ sajátértékeit és sajátvektorait!
   \item Mutassa meg, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek!
 
   \item Legyen $S=\begin{bmatrix}
          \underline{s}_1 & \underline{s}_2 & \underline{s}_3
         \end{bmatrix}$
		 (azaz térjünk át a sajátvektorokból álló bázisra, ennek a bázistranszformáció-mátrixa $S$)
		 
		 Adjuk meg $A$ mátrixát ebben a bázisban!
		 \[
		  A_\text{új}=S^{-1}\cdot A \cdot S
		 \]
		 
   \item Mutassa meg, hogy
    \begin{description}
	 \item[] $\operatorname{Spur} A:=a_{11}+a_{22}+a_{33} = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$
	 \item[] $\operatorname{det}A=\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3$
	\end{description}
   
   \item $rang(A)=?$ (létezik-e $A^{-1}$ ?)
  \end{enumerate}
 
 \item $A=\begin{bmatrix}
          1 & 2 \\
          2 & 1
         \end{bmatrix}$
   \begin{enumerate}
    \item s.é., s.v. $=?$, Mutassa meg, hogy $\underline{s}_1 \bot \underline{s}_2$!
	\item $\underline{s}_i^0:=\frac{\underline{s}_i}{|\underline{s}_i|}, \ S^0:=
	\begin{bmatrix}
          \underline{s}_1^0 & \underline{s}_2^0
         \end{bmatrix}=?$
    \item Mutassa meg, hogy $\left(S^0\right)^{-1}=\left( S^0\right)^\top$
   
    \item $\left( S^0\right)^\top \cdot A \cdot S^0=?$
	\item \[ \left( \begin{array}{cc}
                         x & y \end{array} \right)
			A \left( \begin{array}{c}
                         x \\ y \end{array} \right) +
		    \left( \begin{array}{cc}
                         2 & 3 \end{array} \right) \cdot
				\left( \begin{array}{c}
                         x \\ y \end{array} \right)+5 =p(\underline{x})
		    \]
		Hozza $p(\underline{x})$-et kanonikus alakra!
   \end{enumerate}
  \item \[-x^2-y^2+z^2+6x y+2xz+2yz=p(\underline{x})\]
        Hozza kanonikus alakra!

\end{enumerate}

\end{document}
