\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{4. Gyak.}
  \end{center}

\[ A=
         \begin{bmatrix}
          a & b \\
          c & d 
         \end{bmatrix}, \ 
   A^{-1}= \frac{1}{\operatorname{det}A}
         \begin{bmatrix}
          d & -b \\
          -c & a 
         \end{bmatrix}
\]
\medskip

\begin{enumerate}
 \item
  \[
   A=\begin{bmatrix}
          1 & -1 & 2 \\
          2 & 0  & -3 
         \end{bmatrix}, \
   B=\begin{bmatrix}
          -1& 2 \\
          -3& -1 \\
		  2 & 3
         \end{bmatrix}, \
   C=\begin{bmatrix}
          1 & -1 \\
          -3 & 4 
         \end{bmatrix}, \ 
   D=\begin{bmatrix}
          2 & 0 & 1 \\
          -1&-2 & 1 \\
		  1 & 3 & 2
         \end{bmatrix}
  \]
  \begin{enumerate}
   \item $C^\top+A \cdot B \cdot X+3X=C^2, \ X=?$
   \item $X\cdot D-X=2A+3B^\top, \ X=?$
   \item $B\cdot A\cdot Y\cdot D+Y\cdot D=3D^\top+E, \ Y=?$
  \end{enumerate}
 
 \item Hogyan kell $x$-et megválasztani, hogy $\operatorname{det}A=0$ teljesüljön?
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\begin{bmatrix}
          -1 & -1 & 3 \\
          x & 3  & x  \\
		  1 & 1 & 1
         \end{bmatrix}$
   \item $\begin{bmatrix}
          x & 0 & (x^2-2) \\
          0 & 1  & 1  \\
		  -1 & x & (x-1)
         \end{bmatrix}$
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
  
  \item Milyen $a$-ra nincs inverz?
  \[
         \begin{bmatrix}
          a & 0 & 3 \\
          0 & a  & 2  \\
		  1 & 2 & 1
         \end{bmatrix}
  \]
  $a=6$ esetén adja meg az inverz mátrixot!
  
  \item \[
         \underline{a}=\left(
	                   \begin{array}{c}
                         2\\ -1 \\ 0
                       \end{array}
                       \right), \
		 \underline{b}=\left(
	                   \begin{array}{c}
                         -1\\ 1 \\ 1
                       \end{array}
                       \right), \
					C=\begin{bmatrix}
                        1 & -1 & 0 \\
                        2 & 1  & -1  \\
		                0 & 1 & 2
         \end{bmatrix}
        \]
   $
     \left(\underline{a}\cdot \underline{b}^\top +C^\top\right)X=\underline{a}^\top \cdot \underline{b}\cdot 2C^\top, \ X=?
   $

 \item
  \[
   \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        1 & 1
   \end{bmatrix}^4 \cdot X \cdot
   \begin{bmatrix}
        1 & -1 \\
        0 & 1
   \end{bmatrix}^2 =
   \begin{bmatrix}
        1 & -4 \\
        2 & -1
   \end{bmatrix}^\top, \ X=?
  \]
 
 \item Mutassa meg, hogy
  \begin{enumerate}
   \item $(A \cdot B)^\top=B^\top \cdot A^\top$
   \item $\operatorname{det}(A \cdot B)= (\operatorname{det}A) \cdot (\operatorname{det}B)$
  \end{enumerate}
  ha
                \renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
                \renewcommand{\labelenumii}{\theenumii}
  \begin{enumerate}
   \item $A=\begin{bmatrix}
              1 & -2 \\
              -3 & 6
            \end{bmatrix}, \
          B=\begin{bmatrix}
              2 & -4 \\
              1 & -3
            \end{bmatrix}$
   \item $A=\begin{bmatrix}
              1 & 2 & 2 \\
              -1& 1 & 3 \\
			  1 & 0 & 1
            \end{bmatrix}, \
          B=\begin{bmatrix}
              -1& 2 & 4 \\
              0 & 1 & 0 \\
			  1 & -2&-1
            \end{bmatrix}$
  \end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\end{document}
