\documentclass[a4paper, 10pt]{report}
\usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=2cm,top=1cm,bottom=1cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{times}

\usepackage{multirow, multicol}
\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}
\usepackage{geometry}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  \Large{3. Gyak.}
  
  \small{(LER megoldása Gauss algoritmussal)}
  \end{center}
\medskip
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 
 \item 
   \begin{flalign*}
     x_1 +2 x_2+x_3 +x_4 & =0 \\
	 2x_1+x_2+x_3+ 2 x_4 & =0 \\
	 x_1+2x_2 + 2x_3+x_4 & =0 \\
	 x_1+x_2+x_3+x_4     & =0
   \end{flalign*}
 
 \item 
   \begin{flalign*}
     2 x_1 -2 x_2+4 x_3 & =8 \\
	 -x_1+2 x_2+3 x_3   & =6 \\
	 4 x_1-3x_2 -3 x_3  & =10
   \end{flalign*}
   
 \item \[
         \begin{bmatrix}
          2 &-1 & 2 \\
          3 & 1 &-5 \\
	      4 &-1 & 1 \\
		  1 & 3 &-13
         \end{bmatrix} \underline{x}=
         \begin{bmatrix}
          3 \\
          0 \\
	      3 \\
		  -6
         \end{bmatrix}
	   \]
	   
 \item
   \begin{flalign*}
     5 x -7 y+ z & =1 \\
	 10x -14y+2z & =7 \\
	   x -y  + z & =3
   \end{flalign*}
   
 \item \[
         \begin{bmatrix}
          0 & 1 & 1 & 0 \\
          0 & 1 & 3 & 5 \\
	      1 & 0 & 3 & 4 \\
		  1 & 3 & 10&14
         \end{bmatrix} \underline{x}=
         \begin{bmatrix}
          5 \\
          16\\
	      15\\
		  52
         \end{bmatrix}
	   \]
	   
 \item 
   \begin{flalign*}
      x_1 +  x_2+  x_3 +x_4 & =10\\
	  x_1 -  x_2+2 x_3 -x_4 & =1 \\
	  x_1 + 3x_2+3 x_3      & =15\\
	 3x_1 +  x_2+4 x_3 +x_4 & =21
   \end{flalign*}
 
 \item $
         \underline{\underline{A}}=
		 \begin{bmatrix}
          1 & 2 & 4 \\
          3 & 5 & 7 \\
	      2 & 0 &-6 
         \end{bmatrix}$, \
	   \[
         \left( \underline{x}^\top \cdot \underline{\underline{A}} \right)^\top=
		 \begin{pmatrix}
          1 \\
          1 \\
	      1 
         \end{pmatrix}+ 
		 2\begin{pmatrix}
          1 \\
          3 \\
	      -4 
         \end{pmatrix}, \
		 \underline{x}=?
       \]
 
 \item \[
         \begin{bmatrix}
          1 & 3 & 2 \\
          2 & 5 & 4 \\
	      4 & 3 &-6 
         \end{bmatrix} \cdot \underline{x}=
		 \begin{bmatrix}
          0 & 2 & 1 \\
          3 & 5 & 2 \\
	      0 & 0 &-1 
         \end{bmatrix} \cdot
		 \begin{bmatrix}
          1 \\
          -2\\
	      7
         \end{bmatrix}, \underline{x}=?
       \]
	    
 \item \begin{flalign*}
        x_1 -  x_2+  4x_3 & = 0\\
	    -x_1 +3x_2+t x_3  & =-7\\
	    2x_1 + x_2+2 x_3   &= 0
       \end{flalign*}
	   \begin{enumerate}
	    \item $t=?$ hogy megoldható elgyen?
		\item $t=-1$-re oldja meg!
	   \end{enumerate}
 
 \item Vizsgálja $\lambda$ függvényében!
       \begin{flalign*}
        x_1 + 2x_2+  \lambda x_3 & = 5\\
	    -x_2 +2x_3 & =5\\
	    x_1 - x_2+3 x_3   &= 8
       \end{flalign*}
	   
 \item Vizsbálja $b$ függvényében!
       \begin{flalign*}
        x + y+  b z & = 3\\
	    x +(1+b)y +z& =-2\\
	    (1+b)x + y +z &= 8
       \end{flalign*}
 
 \item $\lambda=?$ \ ha $\nexists$ megoldás, ha $\exists !$ megoldás és ha $\infty$ sok megoldás van. Ha létezik megoldás, akkor oldja meg!
    \begin{enumerate} 
      \item
	 \[
        \left[
	  \begin{array}{ccc|c}
        2 & 0 & 0 & -2 \\
		1 & 1 & -1& 4 \\
		0 & 3 & \lambda & 1 
      \end{array}
    \right]
       \]
	 \item
	  \[
        \left[
	  \begin{array}{cccc|c}
        1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
		1 & (1+\lambda) & 1 & 1 & 3 \\
		1 & 1 & (1+\lambda) & 1 & 4 \\
		\lambda & 1 & 1 & 1 & 1\\
      \end{array}
    \right]
       \]
    \end{enumerate}
 
 \item
       \begin{flalign*}
        x_1 + x_2  -x_3 -2x_4& = 0\\
	    x_1 + x_2 +3x_3 +4x_4& = 0\\
		x_1 + x_2 -5x_3 -8x_4& = 0\\
		x_1 + x_2 -9x_3-14x_4& = 0
       \end{flalign*}
 
 \item A 8db $\ast$-al jelölt helyre milyen számokat kell írni, ha tudjuk, hogy a 3. sor elemeinek összege, a 3. oszlop elemeinek összege és az
       átlóban lévő elemek összege is mindig $15$?
     \[
      \begin{array}{|c|c|c|}
        \hline
		\ast & 9 & \ast \\ \hline
		\ast & \ast & \ast \\ \hline
		\ast & \ast & \ast \\ \hline
      \end{array}
     \]
	 
 \item Milyen $t$-re metszi egymást az alábbi $4$ sík a térben?
  \begin{gather}
   y+x=0 \\
   2x-y+z=0 \\
   x+y=2t \\
   2(x-y)+t(z+1)=0
  \end{gather}
 \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{document}
