\documentclass[a4paper,12pt]{report} %report üzemm\'odban a "chapter" a legmagasabb (kötelező) tagol\'as!
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{times}
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
 \begin{center}
  \textbf{\large{Segédlet a 2. ZH-hoz}}
  
   \textbf{gépész A1}
 \end{center}
Egy konkrét páldán keresztül gyakoroljuk az improprius integrált (Cauchy főértéket),
határozott integrált és határozatlan integrált (helyettesítéses és parciális törtekre bontás), valamint egy kis L'Hospital-ást.
\\
\textbf{Feladat}
\[
 \int_{-1}^1 \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}}\operatorname{d}x = ?
\]
\begin{enumerate}
 \item Improprius vagy rendes az integrál?
       \begin{center}
         \includegraphics[scale=0.7]{01.pdf}
	   \end{center}
	   A határok végesek ezért csak azzal lehet a baj, hogy az integrálandó fv végtelenbe tart valahol a $[-1, 1]$ intervallumban.
	   Ellenőrizzük le, hogy így van-e!
	   \begin{gather*}
	    f(x)=\frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} = \pm \infty  \\
		\Updownarrow \\
		x\sqrt{9-3x-x^2}=0 \\
		\Updownarrow \\
		x=0 \ \text{vagy} \ x=\underbrace{\frac{3+\sqrt{9-4\cdot (-1)\cdot 9}}{-2}}_{\approx -4.854} \ \text{vagy} \
                     		x=\underbrace{\frac{3-\sqrt{9-4\cdot (-1)\cdot 9}}{-2}}_{\approx 1.854}
	   \end{gather*}
	   Az integrálási határok között (a $[-1, 1]$ intervallumban) az $x=0$-val van baj, ezért az integrálás improprius.
 \item Használjunk Cauchy főértéket
       \[
         \int_{-1}^1 f(x)\operatorname{d}x = \lim_{\varepsilon \to 0_+} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon} f(x)\operatorname{d}x + \int_{\varepsilon}^{1} f(x)\operatorname{d}x \right)
       \]
       \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{02.pdf}\end{center}
 \item Most két (rendes) határozott integrált kell kiszámolnunk.
       \begin{gather*}
	    \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x = ? \\
		\int_{\varepsilon}^{1}   \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x = ?
	   \end{gather*}
	   Kezdjük a másodikkal, a másikat ugyanúgy kell, csak más számokat kell a végén beírni.
	   A határozott integrálhoz először határozzuk meg a primitív fv-t.
 \item $\int \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x= ?$
     \begin{enumerate}
	  \item
	   Megjelenik egy másodfokú polinom gyöke ($\sqrt{9-3x-x^2}$), először ezzel kell kezdeni valamit.
	   Ahogy arra már az utolsó gyakon utaltam $\sqrt{2. \ \text{fokú polinom}}$ alakú kifejezésnél $3$ esetet különböztetünk meg,
	   attól függően, hogy a polinomnak $0$ vagy $2$ darab gyöke van, illetve, hogy milyen a főegyüttható előjele:
	   \begin{description}
         \item[$\bullet$] $\sqrt{1-x^2}$ : $2$ gyök, negatív főegyüttható $\Rightarrow x=\sin y $ helyettesítés
		 \item[$\bullet$] $\sqrt{1+x^2}$ : $0$ gyök, pozitív főegyüttható $\Rightarrow x=\sinh y$ helyettesítés
		 
				                                               ({\small negatív nem is lehetne, mert ha egy 2. fokú polinomnak 0 darab gyöke van
		                                                       és negatív a főeggyütthatója, akkor mindenhol negatív értéket vesz fel,
															   így értelmetlen belőle gyököt vonni )}
															   
		 \item[$\bullet$] $\sqrt{x^2-1}$ : $2$ gyök, pozitív főegyüttható $\Rightarrow x=\cosh y$ helyettesítés
		 \item[$\circ$] Ha $1$ gyök van, akkor a polinom $(x-a)^2$ alakú és ekkor $\sqrt{(x-a)^2}=|x-a|$. Ennek az integrálása más tészta.
	   \end{description}
	   \textbf{Általában olyan kifejezéseknél, ahol $\sqrt{2. \ \text{fokú polinom}}$ valahogy megjelenik, célszerű ezen helyettesítések valamelyikét alkalmazni,
	   ami $\frac{\text{trigonometrikus polinom}}{\text{trigonometrikus polinom}}$ kifejezésre vezet.}
	   
	   Kivétel például az $\int \frac{1}{\sqrt{2. \text{fokú}}}$, mert ott egyből alapintegrálra vezethető, vagy az
	   $\int \frac{x}{\sqrt{2. \text{fokú}}}$, mert az $\int \frac{f'}{f}$ alakú. Természetesen az ilyen egyszerű
	   eseteknél is kijön úgy, hogy az ember végigcsinálja a helyettesítést, de hosszadalmasabb.
 	   
	   A mi esetünkben a másodfokú polinom gyöke nemtriviálisan kerül elő, mert van egy $x$ szorzó is a nevezőben.
	   Alkalmazzuk a felsorolt helyettesítések valamelyikét. Melyik esetbe tartozik a példánk? A $9-3x-x^2$-nek a
	   főeggyüthatója negatív és már láttuk, hogy két gyöke van, ezért $1-x^2$ alakra kell hoznunk.
	   \begin{align*}
	   & 9-3x-x^2=9-(x^2+3x)=9-\left(x+\frac32 \right)^2+\left(\frac32\right)^2=\frac{45}{4}-\left(x+\frac32\right)^2 = \\
	   & \frac{45}{4}\left(1-\frac{\left(x+\frac32\right)^2}{\frac{45}{4}} \right) =
	     \frac{45}{4}\left(1-\left(\frac{x+\frac32}{\sqrt{\frac{45}{4}}}\right)^2 \right)= \\
	   & \frac{45}{4}\left(1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2 \right)
	   \end{align*}
	   Tehát
	   \begin{align}
	    \nonumber
		& \int \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x=
		  \int \frac{1}{x\sqrt{\frac{45}{4}\left(1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2 \right)}} \operatorname{d}x = \\
		\label{linhely}
		& \int \frac{1}{x \ \frac{3 \sqrt5}{2} \sqrt{1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}} \operatorname{d}x =
    	  \frac{2}{3 \sqrt5} \int \frac{1}{x \sqrt{1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}} \operatorname{d}x
	   \end{align}
      \item
	  Alkalmazzunk $y=\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}$ helyettesítét (lineáris helyettesítés, viszont nem olyan egyszerű,
	                                                                           mint az eddig megszokottak, mert $x$ és $ax+b$
																			   egyszerre szerepel a kifejezésben!).
	   \begin{align*}
	     y= & \frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5} & \text{kifejezem $x$-et}\\
		 x= & \frac{3 \sqrt5}{2} \ y-\frac{3}{2} & \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}y} \ \text{(deriválok $y$ szerint)} \\
		    & \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}= \frac{3 \sqrt5}{2}  &  \text{átszorzok $\operatorname{d}y$-al !}\\
		    & \operatorname{d}x= \frac{3 \sqrt5}{2} \operatorname{d}y & 
 	   \end{align*}
	   Írjuk be az újonnan bevezetett $y$-t, az ezzel kifejezett x-et, valamint a levezetett $\operatorname{d}x$-et (\ref{linhely})-be.
	   \begin{gather}
	     \nonumber
		 \frac{2}{3 \sqrt5} \int \frac{1}{x \sqrt{1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}} \operatorname{d}x= \\
		 \nonumber
		 \frac{2}{3 \sqrt5} \int \frac{1}{\left(\frac{3 \sqrt5}{2} \ y-\frac{3}{2}\right) \sqrt{1-y^2}} \cdot \frac{3 \sqrt5}{2} \operatorname{d}y =\\
		 \label{sinhely}
		 \int \frac{1}{\left(\frac{3 \sqrt5}{2} \ y-\frac{3}{2}\right) \sqrt{1-y^2}} \operatorname{d}y
	   \end{gather}
	  \item
	  Most már megjelent az $\sqrt{1-y^2}$, ezért használhatunk $\sin$ helyettesítést ($z=\arcsin y$):
	   \begin{align*}
 	    \sin z = & y & \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}z} \\
 	    \cos z = & \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}z} &  \text{átszorzok $\operatorname{d}z$-vel}\\
	    \cos z \operatorname{d}z = & \operatorname{d}y & 
	   \end{align*}
	   Írjuk be a kapott formulákat (\ref{sinhely})-be!
	   \begin{gather}
	     \nonumber
		 \int \frac{1}{\left(\frac{3 \sqrt5}{2} \ y-\frac{3}{2}\right) \sqrt{1-y^2}} \operatorname{d}y = \\
		 \nonumber
		 \int \frac{1}{\left(\frac{3 \sqrt5}{2} \ \sin z - \frac{3}{2}\right) \underbrace{\sqrt{1-\sin^2 z}}_{\sqrt{\cos^2 z}}} \cos z \operatorname{d}z= \\
		 \nonumber
		 \int \frac{1}{\left(\frac{3 \sqrt5}{2} \ \sin z - \frac{3}{2}\right) \cos z} \cos z \operatorname{d}z = \\
		 \label{tghely}
		 \int \frac{1}{\frac{3 \sqrt5}{2} \ \sin z - \frac{3}{2}} \operatorname{d}z
	   \end{gather}
	   \item
	   Vegyük észre, hogy ez trigonometrikus fv-ek polinomja (illetve azok hányadosa), melyre automatikusan $\tan \frac{x}{2}$ helyettesítést alkalmazok
	   (most a $z$ játsza az $x$ szerepét).
	   \begin{align*}
 	    w = & \tan \frac{z}{2} \\
 	    \sin z = & \frac{2 w}{1+w^2} \\
		\cos z = & \frac{1-w^2}{1+w^2} \\
		\tan  z = & \frac{2 w}{1-w^2}\\
		\operatorname{d} z= & \frac{2}{1+w^2} \operatorname{d} w
	   \end{align*}
	   Beírva (\ref{tghely})-ba:
	   \begin{gather}
		 \nonumber
		 \int \frac{1}{\frac{3 \sqrt5}{2} \ \sin z - \frac{3}{2}} \operatorname{d}z = 
		 \int \frac{1}{\frac{3 \sqrt5}{2} \ \frac{2w}{1+w^2} - \frac{3}{2}}  \cdot \frac{2}{1+w^2}\operatorname{d}w = \\
		 \nonumber
		 \int \frac{2}{\frac{3 \sqrt5}{2} \ 2w - \frac{3}{2}\left(1+w^2\right)} \operatorname{d}w =
		 \int \frac{2}{3 \sqrt5 \ w - \frac{3}{2}-\frac{3}{2} w^2} \operatorname{d}w = \\
		 \label{parc}
		 \int \frac{-2}{\frac{3}{2} w^2-3 \sqrt5 \ w + \frac{3}{2}} \operatorname{d}w
	   \end{gather}
	   \item
	   Ez $\frac{\text{constans}}{2. \ \text{fokú polinom}}$ alakú. Az ilyenek integrálásánál a következő esetek vannak:
	   \begin{itemize}
         \item ha a nevezőben lévő polinomnak $0$ db gyöke van $\Rightarrow$ $\int \frac{1}{1+x^2}=\arctan x$-re vezethető
		 \item ha a nevezőben lévő polinomnak $1$ db gyöke van $\Rightarrow$ $\int\frac{1}{x^2}$-re vezethető
		 \item ha a nevezőben lévő polinomnak $2$ db gyöke van $\Rightarrow$ parciális törtekre bontás
	   \end{itemize}
	   Számoljuk ki a $\frac{3}{2} w^2-3 \sqrt5 \ w + \frac{3}{2}$ gyökeit! Azt kapjuk, hogy $\pm 2 + \sqrt5$ a 2 db gyök,
	   tehát parciális törtekre bontás fog következni:
	   \[
	    \frac{3}{2} w^2-3 \sqrt5 \ w + \frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(w-2-\sqrt5\right)\left(w+2-\sqrt5\right)
	   \]
	   Írjuk vissza (\ref{parc})-be:
	   \begin{gather}
		\nonumber
		\int \frac{-2}{\frac{3}{2} \left(w-2-\sqrt5\right) \left(w+2-\sqrt5\right)} \operatorname{d}w = \\
		\label{parc2}
		\frac{-4}{3}\int \frac{1}{\left(w-2-\sqrt5\right) \left(w+2-\sqrt5\right)} \operatorname{d}w
       \end{gather}
	   Kicsit egyszersödött, most jöhet parciális törtekre bontás.
	   \begin{align*}
	    \frac{1}{\left(w-2-\sqrt5\right) \left(w+2-\sqrt5\right)} & = \frac{A}{w-2-\sqrt5}+\frac{B}{w+2-\sqrt5} \\
		& \Downarrow \\
		1 & = A \left(w+2-\sqrt5\right)+B\left(w-2-\sqrt5\right) = \\
		  & =A w+A \left(2-\sqrt5\right)+B w - B\left(2+\sqrt5\right) = \\
		  & =(A +B)w+A \left(2-\sqrt5\right)- B\left(2+\sqrt5\right) \\
		  & \Downarrow \\
		  A+B=0 \ \text{és} & \ A \left(2-\sqrt5\right)- B\left(2+\sqrt5\right)=1 \\
		  & \Downarrow \ \text{(megoldást nem részletezem)} \\
		  A=\frac14, & \ B=-\frac14 \\
		  & \Downarrow \\
		  \frac{1}{\left(w-2-\sqrt5\right) \left(w+2-\sqrt5\right)} & = \frac{1/4}{w-2-\sqrt5}-\frac{1/4}{w+2-\sqrt5}
	   \end{align*}
	   \item
	   Irjuk vissza (\ref{parc2})-be és vegyük észre, hogy $\frac{1}{\text{lineáris polinom}}$ integrálja $\ln$-es lesz.
	   \begin{gather*}
	    \frac{-4}{3}\int \frac{1}{\left(w-2-\sqrt5\right) \left(w+2-\sqrt5\right)} \operatorname{d}w = \\
		\frac{-4}{3}\int \frac{1/4}{w-2-\sqrt5} -\frac{1/4}{w+2-\sqrt5}\operatorname{d}w= \\
		\boxed{\frac{-4}{3 \cdot 4} \ln \left|w-2-\sqrt5 \right| +\frac{4}{3 \cdot 4} \ln \left|w+2-\sqrt5 \right| +c}
	   \end{gather*}
	   Eddig nem jött elő, de most fény derül rá: $\int \frac{1}{x} \neq \ln x+c$, helyesen:
	   \[
	    \int \frac{1}{x}=\ln |x|+c
	   \]
	   A határozott integrálásnál kelleni fog az $\frac{1}{x}$ fv negatív fele is és negatív szám logaritmusa nem értelmes,
	   ezért kell az abszolút érték.
	   \item
	   Az intgrálás készen van, már csak vissza kell helyettesíteni $w$-t $x$-re.
	   \begin{align*}
	    & w = \tan \frac{z}{2} \stackrel{z=\arcsin y}{=} \tan \frac{\arcsin y}{2}
       \end{align*}
	   A $\tan \arcsin$ kifejezéstől még most szabaduljunk meg, mert elég kínos lenne $\ln \left( \tan \frac{\arcsin \varepsilon}{2}\right)$ típusú
	   határértékeket számolni. Használjuk a következő szögazonosságot (amely minden $z\in \mathbb{R}$ számra igaz):
	   \begin{gather*}
 	    \tan \frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+ \cos z}\\
		\text{használjuk azt, hogy } \cos^2=1-\sin^2 \Rightarrow \cos=\sqrt{1-\sin^2} \\
		\tan \frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+ \sqrt{1-\sin^2 z}} \\
		\tan \frac{\arcsin y}{2}=\frac{\sin (\arcsin y)}{1+ \sqrt{1-\sin^2 (\arcsin y)}} = \\
		\tan \frac{\arcsin y}{2}=\frac{y}{1+ \sqrt{1-y^2}}
       \end{gather*}
	   Máris megkönnyebbültünk.
	   Most $y=\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}$-et kell beírni. Számoljuk ki előre $1-y^2$-et:
	   \begin{gather*}
	    1-y^2=1-\left(\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}\right)^2=1-\left(\frac{4}{9 \cdot 5} \ x^2 +2\cdot \frac{1}{\sqrt5} \cdot \frac{2}{3 \sqrt5} \ x + \frac15\right)= \\
		\frac{4}{45} \left(9-3x-x^2\right)
	   \end{gather*}
	   Alakul.
	   \begin{gather*}
	    w=\frac{y}{1+ \sqrt{1-y^2}} = \frac{\frac{2}{3 \sqrt5} \ x+\frac{1}{\sqrt5}}{1+ \sqrt{\frac{4}{45} \left(9-3x-x^2\right)}} = \\
		\text{kiviszem a $\frac{4}{45}$-ödöt a gyök alól és bővítek $3\sqrt5$-el \ldots} \\
		\frac{2 x+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3 x-x^2}}
	   \end{gather*}
	   Az eredeti $w$-s kifejezésbe visszaírva kapjuk, hogy $\int \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}}=$\\
	   \[
	    \boxed{\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{2 x+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3 x-x^2}}-2-\sqrt5 \right|
	   +\frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{2 x+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3 x-x^2}}+2-\sqrt5 \right| +c}
	   \]
	   Nevezzük el az eredményt ($c=0$ választással) $F(x)$-nek.
	 \end{enumerate}
 \item
 Most kiszámolhatjuk a határozott integrált.
 \begin{align}
  \label{hatint}
  & \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x + \int_{\varepsilon}^{1}   \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x = \\
  \nonumber
  & \left[F(x)\right]_{-1}^{-\varepsilon}+\left[F(x)\right]_{-\varepsilon}^{-1} = \\
  \nonumber
  & \left(F(-\varepsilon)-F(-1)\right)+\left(F(1)-F(\varepsilon)\right) = & \text{nyolc tagból fog állni} \\
  \nonumber
  & \\
  \nonumber
  &                \frac{-1}{3} \ln \left|\frac{-2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}}-2-\sqrt5 \right|+ \\ % -\varepsilon
  \label{hatint1}
  & \hspace{0.3cm} \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{-2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5 \right|- \\ % -\varepsilon
  \nonumber
  & \hspace{0.6cm} \frac{-1}{3} \ln \left|\frac{-2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3           -1            }}-2-\sqrt5 \right|- \\ % -1
  \nonumber
  & \hspace{0.9cm} \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{-2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3           -1            }}+2-\sqrt5 \right|+ \\ % -1
  \nonumber
  & \hspace{1.2cm} \frac{-1}{3} \ln \left|\frac{ 2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3           -1            }}-2-\sqrt5 \right|+ \\ % 1
  \nonumber
  & \hspace{1.5cm} \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{ 2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3           -1            }}+2-\sqrt5 \right|- \\ % 1
  \nonumber
  & \hspace{1.8cm} \frac{-1}{3} \ln \left|\frac{ 2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}}-2-\sqrt5 \right|- \\ % \varepsilon
  \label{hatint2}
  & \hspace{2.1cm} \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{ 2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5 \right|     % \varepsilon
  \end{align}
  Egyelőre ne alakítsuk tovább.
  \item
  Most kell $\varepsilon \to 0$ határértéket venni. Próbáljunk meg egyszerűen behelyettesíteni $0$-t.
  \begin{align*}
   & \left. \frac{ \mp 2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9 \pm 3\varepsilon-\varepsilon^2}}\right|_{\varepsilon=0}= \\
   & \frac{ 3}{3 \sqrt{5}+2 \cdot 3}=\frac{ 1}{\sqrt{5}+2} = \\
   & \frac{ \sqrt{5}-2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=\sqrt{5}-2
  \end{align*}
  Ebből láthatjuk, hogy ahol $+2-\sqrt{5}$ szerepel a tört után a logaritmus hasában ((\ref{hatint1}) és (\ref{hatint2}) jelöli a megfelelő sort),
  ott $\ln 0$ jelenik meg. Emiatt nem ússzuk
  meg a határérték számítást. Az $\ln \left(\text{pozitív szám}\right)$ tagokkal most ne foglalkozzunk (ott tényleg csak be kell
  helyettesíteni $0$-t), csak a két $\ln 0$-s taggal.
 \begin{align}
  \label{nemnulla}
  \nonumber
  & \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{-2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5 \right|- \\
  \nonumber
  & \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{ 2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5 \right| = \\
  \nonumber
  & \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{\frac{-2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5}
                                {\frac{ 2\varepsilon+3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}}+2-\sqrt5} \right| = \\
  & \frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{-2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)}
                                { 2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)}\right|
 \end{align}
 Számoljuk ki csak az abszulút értéken belüli tört határértékét és aztán vesszük a kapott érték abszolút értékét és logaritmusát.
 \begin{gather*}
  \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)}
                                { 2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)} = ?
 \end{gather*}
 Megpróbálhatunk most is behelyettesíteni $\varepsilon$ helyére $0$-t, de a tört $\frac00$-ra egyszerűsödik.
 Ezért \underline{L'Hospital}-unk.
 \begin{enumerate}
   \item
   \begin{gather*}
     \frac{\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left(-2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)\right)}
          {\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left( 2\varepsilon+3+ \left(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}\right)\left(2-\sqrt5\right)\right)} = \\
	 \frac{-2 +\frac{ 3-2\varepsilon}{\sqrt{9+3\varepsilon-\varepsilon^2}}\left(2-\sqrt5\right)}
          { 2 +\frac{-3-2\varepsilon}{\sqrt{9-3\varepsilon-\varepsilon^2}}\left(2-\sqrt5\right)}
   \end{gather*}
   Ebbe már behelyettesíthetünk $0$-t.
   \begin{gather*}
    \frac{-2 +\frac{ 3}{\sqrt{9}}\left(2-\sqrt5\right)}
         { 2 +\frac{-3}{\sqrt{9}}\left(2-\sqrt5\right)} = \\
	\frac{-\sqrt5}{ \sqrt5} = -1
   \end{gather*}
 \end{enumerate}
 Hogy megkapjuk (\ref{nemnulla})-t:
 \[
  \frac13 \ln |-1|=0
 \]
 Ebből azt kapjuk, hogy amikor (\ref{hatint})-nak a határértékét számoljuk, akkor el kell hagyni az összegből (\ref{hatint1})-t és (\ref{hatint2})-t,
 a többibe pedig egyszerűen beírni $\varepsilon=0$-t.
 \begin{gather*}
  \operatorname{CHW} \int_{-1}^1 \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x = \\
  \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x + \int_{\varepsilon}^{1}   \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x =
 \end{gather*}
 \begin{align*}
  %
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{              3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9                           }}-2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{-2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3           -1            }}-2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{-2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9+3           -1            }}+2-\sqrt5 \right|+ \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{ 2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3           -1            }}-2-\sqrt5 \right|+ \\
  &\frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{ 2           +3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9-3           -1            }}+2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{              3}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{9                           }}-2-\sqrt5 \right|=
  \end{align*}
  \begin{align*}
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{1}{  \sqrt{5}+2          }-2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{1}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{11}}-2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{1}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{11}}+2-\sqrt5 \right|+ \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{5}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{ 5}}-2-\sqrt5 \right|+ \\
  &\frac{ 1}{3} \ln \left|\frac{5}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{ 5}}+2-\sqrt5 \right|- \\
  &\frac{-1}{3} \ln \left|\frac{1}{  \sqrt{5}+2          }-2-\sqrt5 \right| \approx 0.121386
 \end{align*}
 Lehetne még egyszerüsíteni a képletet gyöktelenítéssel, de a lényeg az, hogy ha kaptunk egy konkrét értéket (amiben sem $x$, sem $\varepsilon$
 nem szerepel), akkor készen vagyunk.
 \[
  \operatorname{CHW} \int_{-1}^1 \frac{1}{x\sqrt{9-3x-x^2}} \operatorname{d}x =
   \frac{1}{3} \log \left(-\frac{1}{5} \left(2 \sqrt{5}-5\right) \left(7+2\sqrt{11}\right)\right)
 \]
 \end{enumerate}
\end{document}
