\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{times}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{\textbf{Bsc/A1/Gé/2.HF/2010 őszi félév (V. Nagy)}}\\
  \Large{Leadási határidő: az 2. ZH \underline{előtti} gyakorlaton a gyak.~vezér részére (olvashatóan, kézzel írva!)}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 
  \begin{enumerate}
   \item Az $a, b, c$ paraméterek értékét adja meg úgy, hogy az $y=e^x$ és az $y=a x^2+b x+c$
        görbék $x_0=1$-ben \underline{másodrendben érintkezzenek}!
   \item \underline{Hányadrendben érintkeznek} az $x_0=0$ -ban az $x$-tengellyel az
        $y_1=1-\cos x$ ill. az $y_2=e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$ görbék?
  \end{enumerate}
 \item
  \begin{enumerate}
   \item Adja meg az $f(x)=x^3$ fv $x_0=-1$ pontjában a \underline{görbület} értékét és
        írja fel a \underline{simulókör} egyenletét.
   \item Az $f(x)=\ln x$ fv mely pontjában lesz a görbület maximális?
  \end{enumerate}
 \item Számítsa ki az alábbi \underline{határozatlan integrálokat}!
  \begin{itemize}
   \item $\int \left( 3-x^2 \right)^3$
   \item $\int \frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}$
   \item $\int \left( 2^x+3^{x-1} \right)^2$
   \item $\int \sqrt[3]{1-3x}$
   \item $\int \frac{1}{2+3x^2}$
   \item $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2-2}}$
   \item $\int \frac{1}{\operatorname{sh}^2 \frac{x}{2}}$
   \item $\int \frac{x}{\left(x^2-1\right)^{\frac32}}$
   \item $\int x \ e^{-x}$
   \item $\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos^3 x}}$
   \item $\int \frac{1}{x \ln x}$
   \item $\int \frac{x^2}{1+x}$
   \item $\int \frac{x^5}{1+x}$
   \item $\int \frac{3x^4-2x^3+5x^2-2}{2x+1}$
   \item $\int \frac{3x^5+2x^4-x^3+3x+2}{x^2+1}$
   \item $\int \frac{x^4-1}{x-1}$
   \item $\int \frac{5}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+2\right)}$
   \item $\int \frac{1}{x^2+x-2}$
   \item $\int \sin^2x$
   \item $\int \sin 3 x \cdot \sin 5 x$
   \item $\int \cos 2x \cdot \sin 7x$
   \item $\int \cos 4x \cdot \cos x$
   \item $\int \sin^3 x$
   \item $\int \cos^4 x$
   \item $\int \operatorname{sh}^2 x$
   \item $\int \operatorname{sh} x \cdot \operatorname{sh} 2x$
   \item $\int \frac{x^2}{\sqrt{2-x}}$
   \item $\int \frac{1}{\left(1-x^2\right)^{\frac32}}$
   \item $\int \sqrt{4-x^2}$
   \item $\int \sqrt{9+x^2}$
   \item $\int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}$
   \item $\int x^2 \ln x$
   \item $\int x^3 \cdot \operatorname{ch} 3x$
   \item $\int x^2 \sin 2x$
   \item $\int \left(3x^2+2x-1\right)e^{-2x}$
   \item $\int x^3 e^{-x^2}$
   \item $\int \arctan x$
   \item $\int \frac{x}{(x+1)\left(x^2+5x+6\right)}$
   \item $\int \frac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x}$
   \item $\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}$
   \item $\int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{1+e^{\frac{x}{2}}}$
  \end{itemize}
 \item
  \begin{enumerate}
   \item $\int_{-3}^4 \left| \left|x^2-1\right| -2\right| \mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{0}^{3} \operatorname{sgn} \left(x-x^3\right)\mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{-2}^{1} \frac{1}{(11+5x)^3}\mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{1}^{e} x^3 \cdot \ln x^2\mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{2}^{4} \left(\frac{1-x}{x}\right)^2\mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}\mathrm{d}x=?$
   \item $\int_{-1}^{0} \frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=?$
  \end{enumerate}
 \item
  \begin{enumerate}
   \item $y'=(2x+3)\cdot 2^x, y=?$
   \item $y'=e^{2x}\cdot \cos 3x, y=?$
   \item $y'=x^2 \cdot \ln^2 x, y=?$
   \item $y'=\frac{2x^3+3x^2-2}{x+1}, y=?$
  \end{enumerate}
 \item Az $f(x)=\frac12 x^2+1$ fv-re az $I=[-1, 2]$-ben írja fel
  \begin{enumerate}
   \item $n=6$ esetén az \underline{alsó-} és \underline{felső-közelítő összegeket}. ($s_6$ ill. $S_6$)
   \item azt a \underline{közbülső közelítő összeget}, amelyre $\xi_k$ éppen a $k.$ részintervallum felezőpontja!
   \item Melyik közelítő érték közelíti meg legjobban $\int_{-1}^{2} \left(\frac12 x^2+1 \right)\mathrm{d}x$ értékét?
   \item * $s_n, S_n=?$, $\lim s_n=?$, $\lim S_n=?$
  \end{enumerate}
 \item * Adja meg a def. alapján az $f(x)=2x-1$ fv egy u.n. "integrál függ\-vé\-nyét"! (jele: $\Phi_a (x)$)
 
        ${\Phi_a}' (x)=?$ ($a=0$)
 \item Határozza meg az alábbi görbékkel határolt \underline{síkidomok területét}!
  \begin{enumerate}
   \item $f= x^2+4, g= 2x^2$
   \item $f= x^2, g= \sqrt{x}$
   \item $f= \ln x, g= \ln^2 x$
   \item $f= x^2-4, g= 1-\frac14 x^2$
  \end{enumerate}
 \item Milyen arányban osztja ketté az $y^2=2x$ parabola az $x^2+y^2=8$ kör területét?
 \item Számolja ki az alábbi \underline{improprius integrálokat}!
  \begin{enumerate}
   \item $\int_{-\infty}^{1} e^x\left(x^3-x^2+x-1\right)$
   \item $\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2}$
   \item $\int_{2}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}$
   \item $\int_{0}^{1} \frac{1}{(2-x)(1-x)}$
   \item $\operatorname{CHW}\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3}$
   \item $\int_{-\infty}^{\infty} \arctan x$
   \item $\operatorname{CHW}\int_{-\infty}^{\infty} \arctan x$
   \item $\int_{-3}^{0} \frac{2}{(x-1)(x+2)}$
   \item $\operatorname{CHW}\int_{-3}^{0} \frac{2}{(x-1)(x+2)}$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

 \end{document}