\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{times}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{\textbf{Bsc/A1/Gé/1.HF/2010 őszi félév (V. Nagy)}}\\
  \Large{Leadási határidő: az 1. ZH \underline{előtti} gyakorlaton a gyak.~vezér részére (olvashatóan, kézzel írva!)}
\end{center}

\section{Számsorozatok}
\begin{enumerate}
  %1.  feladat%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \item $\lim \frac{n^3-1}{(n^2-1)(n+1)}$
  %2.  feladat%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \item $\lim \frac{2+4+6+ \ldots +2n}{1+3+5+ \ldots +(2n+1)}$
  
  \item $\lim \left(\frac{5+n}{n}\right)^4$
  
  \item $\lim e^\frac{2}{n^2}$
  
  \item $\lim \sqrt{n+2}\left( \sqrt{\frac{n}{3}+1}-\sqrt{\frac{n}{3}-1} \right)$
  
  \item $\lim \frac{n\sqrt[3]{n}+\sqrt[4]{n^2+2}}{2 n^{4/3}+5 n}$

  \item $\lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2 n+1}-\sqrt{n}}$

  \item $\lim \frac{\sqrt{3 n+2}-\sqrt{3 n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}$

  \item $\lim \frac{(-2)^{3n+1}+2 \cdot 2^{2n}\sqrt[3]{8n}}{16^\frac{n}{2} \cdot 9^{\frac{n}{2}+1}-(-5)^{n+2}}$

  \item $\lim \left( 2^n 3^{1-n}+2^n 3^{-n} \right)$

  \item $\lim \frac{\sqrt[n]{n^{2n}}}{\sqrt[n]{10} \cdot (n+1)^2}$

  \item $\lim \left(\frac{n+3}{n-1}\right)^{2n+1}$

  \item $\lim \left(1-\frac{2}{3n}\right)^{6n+1}$

  \item $\lim \left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{9n-3}$
  
  \item $\lim 3^{\frac{n+2}{n-1}}$

  \item $\lim \left( 2+\frac{4}{n+1} \right)^{2n} \cdot 4^{-n}$

  \item $\lim \frac{\cos^2 n}{n^3+1}$

  \item $\lim \ln\left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)$

  \end{enumerate}

\section{Vételen sorok}
 \begin{enumerate}
  \item $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2}{(k-1)k}$
  
  \item $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$
  
  \item $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2n+1}-2 \cdot 9^{\frac{n}{2}}}{2^{2n+1}+\left(\sqrt{16}\right)^{n+1}}$

  \item $\sum_{n=0}^{\infty} 5^{2-n} \cdot \frac{2^{2n+1}+16^{\frac{n}{2}+1}}{2^{n+1}}$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac54\right)^{n+1} \cdot \left(\frac{2}{10}\right)^{n-1}$

  \item $\sum_{n=0}^{\infty} 8^{\frac{n}{3}+1} \cdot \left(-4\right)^{2-2n}$

 \end{enumerate}

\subsection{Konvergens-e az alábbi sor? (Válaszát indokolja!)}
 \begin{enumerate}
  \item $\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n^2}$
  
  \item $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(n+1\right)!}{2^{2n+1} \cdot 3^n}$
  
  \item $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{\binom{n}{2}}$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^n}$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2} \cdot 4^{2-n}$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^3+\sqrt{n}}$

  \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-3\right)^{n+1}}{27^{\frac{n}{3}}\cdot n}$

 \end{enumerate}
 
\section{Da egyenletek}
 \begin{enumerate}
  \item $y_n= ?, y_1, y_2, y_3=?, \lim y_n=?$
   \begin{enumerate}
    \item $y_{n+1}=\frac15 y_n+1, y_0=2$
	\item $y_{n+1}-2 y_n+2=0, y_0=5$
	\item $3 y_{n+1}+2 y_n=-\frac53, y_0=-2$
   \end{enumerate}
  \item Egy hallgató $\forall$ év elején betesz a bankba $5000$ Ft-ot. $10$ évig nem nyúl hozzá.
       $10$ év elteltével $\forall$ év elején kivesz $5000$ Ft-ot. A kamat legyen mindig $10 \% $. Mennyi pénze lesz 20 év múlva?
  \item $y_n= ?, y_2, y_3, y_4=?, \lim y_n=?$
   \begin{enumerate}
    \item $y_{n+2}=\frac34 y_{n+1}-\frac18 y_n +3, y_0=1, y_1=2$
	\item $y_{n+2}+8y_{n+1}+16y_n=50, y_0=4, y_1=10$
	\item $9y_{n+2}-y_n=72, y_0=1, y_1=5$
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\section{Komplex számok}
 \begin{enumerate}
  \item 
   \begin{enumerate}
    \item $\frac{5}{(1-i)(2-i)(3-i)}=?$
	\item $(1-i)^4+\frac{(2+i)^2}{3-4i}=?$
	\item $\sqrt[3]{-i}=?$
	\item $(-1)^\frac34=?$
	\item $\left(-1+i\sqrt3\right)^\frac32=?$
	\item $\sqrt[6]{2^3}=?$
	\item $\left(\sqrt[6]{2}\right)^3=?$
	\item $(1+i)^{10}=?$
   \end{enumerate}
  \item oldja meg:
   \begin{enumerate}
    \item $5z^3+40=0$
	\item $z^2-(2+3i)z=1-3i$
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\section{Fv. határérték, asszimptota, szakadási helyek, folyt.}
 \begin{enumerate}
  \item
   \begin{enumerate}
    \item $\lim_1 \frac{x^4-1}{x-1}=?$
    \item $\lim_{{-3}_+} \frac{|x+3|}{x+3}=?$
    \item $\lim_{{-3}_-} \frac{|x+3|}{x+3}=?$
	\item $\lim_{3_+} 2^{\frac{1}{3-x}}=?$
    \item $\lim_0 x\cdot \frac{\operatorname{ctg} 3x}{2}=?$
	\item $\lim_0 \frac{\sin 5x}{\sin 2x}=?$
	\item $\lim_{0_+} \operatorname{sgn}\left(x^2-4x\right) =?$
	\item $\lim_{4_-} \operatorname{sgn}\left(x^2-4x\right) =?$
	\item $\lim_{-\infty} \frac{x^2+2x^3}{x^3-1}=?$
	\item $\lim_{+\infty} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}=?$
   \end{enumerate}
  \item Határozza meg az alábbi fv-ek szakadási helyei jellegét és asszimptotáit!
   \begin{enumerate}
    \item $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2+x}$
	\item $f(x)=\frac{x(x+2)}{x-1}$
	\item $f(x)=\operatorname{sgn}\left( x^2-4 \right)$
	\item $f(x)=\frac{x^3-x}{x^2+x}$
   \end{enumerate}
  \item Tegye folytonossá az alábbi fv-eket a paraméterek begfelelő megválasztásával! (Készítsen ábrát!)
   \begin{enumerate}
    \item $f(x)=\begin{cases}
	            3e^{2x} & , x\leq 0 \\
				a-x^3   & , x>0
	           \end{cases}$
	\item $f(x)=\begin{cases}
	            |x-2| & , x\geq 2 \\
				b+\frac12 x   & , x<2
	           \end{cases}$
	\item $f(x)=\begin{cases}
	            b-x^2 & , x\leq 0 \\
				2+\ln(x+1) & , x>0
	           \end{cases}$
    \item $f(x)=\begin{cases}
	            e^x+1 & , x\leq 0 \\
				b \cdot\frac{\sin2x}{x} & , x>0
	           \end{cases}$
   \end{enumerate}
  \item Zérushely meghatározása
   \[ f(x)=x^4-x^2-9 \]
   \begin{enumerate}
    \item Mutassa meg, hogy $f$-nek van $\left(1, 2\right)$-ben valós gyöke!
    \item Az intervallum felezéssel közelítse a gyököt $0.07$ pontossággal!
	\item Közelítse ezt a gyököt húr módszerrel! Adja meg a közelítő sorozat $1., 2., 3., 4.$ és $n.$ tagját!
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\section{Deriválás}
 \begin{enumerate}
  \item Deriválja az alábbi fv-eket!
   \begin{enumerate}
    \item $3x^8-4x^5+2\sqrt[3]{x^2}+\frac{3}{\sqrt[4]{x^3}}$
	\item $\left(4+3\sqrt{x}\right)^8+x^2\cdot e^{3x}$
	\item $\frac{2x^3-\sqrt{x}}{x^4+2x}$
	\item $\frac{x\ln\left(x^2+1\right)}{\sin^2 2x}$
	\item $\sqrt[3]{x^2+x}$
	\item $\sqrt{x+\sqrt{x}}$
	\item $\frac{e^{x^2}+2^{x+1}}{\ln^2(3x-1)}$
	\item $e^{\sin^2x}$
	\item $\left(2x+1\right)^{x^2}$
	\item $\left(\sin3x\right)^x$
	\item $x^{2^x}$
	\item $\sin^2\left(\cos(3x+1)\right)$
	\item $\ln\left(\cos^2\left(\sin 2x\right)\right)$
	\item $\sqrt{e^{\sin{x^2}}}$
	\item $\tan\left(\ln^2\frac{x+1}{x-1}\right)$
   \end{enumerate}
  \item Írja fel az $x_0$ beli érintőegyenes és a másodfajú Taylor pol. egyenletét!
       Majd ennek segítségével adjon közelítést $f\left(\bar{x}\right)$-re!
   \begin{enumerate}
    \item $f(x)=x \ e^{-x^2}, x_0=0, \bar{x}=-0.01$
	\item $f(x)=\frac{\sqrt{x^3-x}}{x+1}, x_0=3, \bar{x}=3.02$
   \end{enumerate}
  \item Legyen $K(x)=\frac14(x-2)^3+2+\frac{2}{x+1}, x_0=3$
   \begin{enumerate}
    \item Hány \%-kal változik a fv értéke közelítőleg, ha $x_0$ értéke
	 \begin{enumerate}
	  \item $2\%$-kal nő?
	  \item $3\%$-kal csökken?
	 \end{enumerate}
	\item Hány \%-kal kell közelítőleg $x_0$ értékét változtatni, ha $10\%$-kal szeretnénk a fv értékét növelni?
   \end{enumerate}
  \item Végezzen teljes fv vizsgálatot!
   \begin{enumerate}
    \item $f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}$
	\item $f(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2}$
	\item $f(x)=\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2$
	\item $f(x)=x \ e^x$
	\item $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$
   \end{enumerate}
  \item L'Hospital szabály:
   \begin{enumerate}
    \item $\lim_{x\to\pi} \frac{\sin(\sin(\sin x))}{x-\pi}$
	\item $\lim_{0_+} \sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}$
	\item $\lim_{+\infty} \left( x^2-x \right) e^{-2x}$
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}