\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
% \usepackage[magyar]{babel}
% \usepackage{times}

\usepackage{multirow}
\usepackage{array, fullpage, multicol}

\usepackage{textcomp}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}


\begin{document}

\begin{center}
  \Large{8. Gyak. \\
  Simulókör, görbület, görbék érintkezése}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}

 \item  $k=?, b=?$, ha a két görbe legalábbb másodrendben érintkezik.
  \begin{flalign*}
    y & =k x+b \\
    y & =x^3-3x^2+2
  \end{flalign*}
  
 \item Hányadrendben érintkezik $f$ és $g$ az $x_0=0$ helyen?
  \begin{enumerate}
   \item $f(x)=\sin x$ \\
         $g(x)=\tan x$
   \item $f(x)=1-e^{2x^3}$ \\
         $g(x)=2 x^4$
  \end{enumerate}

  \item $f(x)=\sqrt[3]{x^2+7}, x_0=1$
   \begin{enumerate}
    \item Írja fel az $x_0$-beli simulókör egyenletét!
	\item Mekkora $x_0$-ban a görbület?
   \end{enumerate}

  \item Az $y=\frac{k x^3}{6}, x\geq 0, k>0$ parabola legnagyobb görbülete $\frac{1}{1000}$. Adja meg azt az $x_0$-t, ahol ezt az értéket eléri!
  
  \item * Az $f$ zérushelyét közelítse a \underline{Newton iterációval} úgy, hogy $x_0=1$ és $x_1, x_2, x_3, x_4$-et kiszámolja. $f(x_4)\approx ?$
       \[
	    f(x)=x+2x^3-1
	   \]
	   
  \item * $g(x)=e^{x^2-1}$ fv-nek a szukcesszív approximáció segítségével adja meg egy \underline{fix pontját}! ($x_0$-t válassza "minnél" jobban)
 
  \item \[
         f(x)=\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}
        \]
		$f(x)$ fv. inverzét határozza meg, rajzolja fel és a deriváltját adja meg!
  \end{enumerate}
\end{document}
