\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
% \usepackage[magyar]{babel}
% \usepackage{times}

\usepackage{multirow}
\usepackage{array, fullpage, multicol}

\usepackage{textcomp}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}


\begin{document}

\begin{center}
  \Large{5. Gyak. 
  Deriválás, érintő, Taylor polinom}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}

 \item   Mutassa meg, hogy az al\'abbi esetben a Hooke törvény teljesül, azaz a visszahúzó erő: $m\cdot a(t)$ arányos a kitéréssel! ($a(t)=-\omega^2\cdot s(t) $)
  \begin{align*} 
    & s(t):=A \cdot \cos(\omega t+\alpha) & \text{(egy rezgő oszcillátor kitérése)} \\
    & v(t)= \dot{s}(t)=?                  & \text{(sebesség)}  \\
    & a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{s}(t)=?       & \text{gyorsulás}
  \end{align*}
  
 \item 
  \begin{enumerate} 
   \item Írja fel az $y=(x+1)\sqrt[3]{3-x}$ függvény érintőjének egyenletét az $x_0=5$ pontban!
         Hol metszi ez az érintő az $x$-tengelyt?
   \item Mely pontokban lesz az $f(x)=2+x-x^2$ függvény érintője párhuzamos az $y=x$ egyenessel?
   \item Mekkora szögben metszi az $y=\log x$ függvény az $x$-tengelyt?
  \end{enumerate}
  
 \item
  \begin{enumerate}
   \item $f(x)=\sqrt{x}, f^{(5)}=?$
   \item $f(x)=x\cdot \ln x, f^{(10)}=?$
  \end{enumerate}
 
 \item
  $f(x)=x^x, x_0=1$ a harmadfokú Taylor polinomot írja fel!
  Közelítse az $f(1.2)$ értéket a Taylor polimom segítségével!

 \item
  $x^2\cdot y^3(x)-3\left(x^2+1\right)^2=x^3 \cdot y(x)-6$
  
  $y(1)=?$, $y'(1)=?$
  
  Írja fel az $x_0=1$ pontbeli érintő egyenletét.
  
 \item $f(x)=\sqrt{x^3+8}$, $x_0=2$
  \begin{enumerate}
   \item Ha $x_0$ értékét $10\%$-al növeljük, akkor hány $\%$-kal változik a függvény érték?
   \item Ahhoz, hogy a függvény értéke $30\%$-kal csökkenjen, kb. hány $\%$-kal kell az $x_0$ értékét megváltoztatni és mekkora ez az érték?
  \end{enumerate}
  
 \item
  \begin{enumerate}
   \item $f(x)=x^3 \sqrt{x} \left( x^3- \frac{2}{x}+6 \right)+\left( \sqrt{x^3}-2 \right)^7+3$, $f'=?$
   \item $g(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x+\sqrt{4+x^2}}$, $g'=?$
   \item $h(x)=\sin^2(x^2)+\cos \sqrt{x} +\cot \left( \tan x \right)$, $h'=?$
  \end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\end{document}
