\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
% \usepackage[magyar]{babel}
% \usepackage{times}

\usepackage{multirow}
\usepackage{array, fullpage, multicol}

\usepackage{textcomp}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large{2. Gyak. Végtelen sor}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \underline{Sor összeg megadása}
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k+1}}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 3^{k+2} \cdot 6^{1-k}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{k=3}^{\infty} \frac{\sqrt{3}^{2k+2}}{4\cdot2^{3k-1}}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac32\right)^{n+1}\cdot\left(\frac29\right)^{n-1}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-2\right)^{n+1}\cdot \left(\frac12\right)^{n}}{\left(\sqrt[3]{64}\right)^n+16^{\frac{n}{2}}}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{(k+1)(k+2)}=?$
     \item $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{(3k+3)3k}=?$
     \item * $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{3}{(k-1)k(k+1)}=?$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item \underline{Divergencia kritérium} (ha $\lim a_n \neq 0 \Rightarrow \sum a_n$ nem konvergens)
      Konvergens-e az alábbi sor? (Indoklás!)
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1}$
   \item $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k!$
   \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
   \item $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{2n}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item \underline{Hányados- és gyök kritérium} Konvergens-e az alábbi sor? (Indoklás!)
  \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum \frac{3^{n+1}}{n^3}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{2^n}{n^n}$
   \item $\displaystyle \sum \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{4^n}{n!}$
   \item $\displaystyle \sum \left(\frac{2n}{n^2+n}\right)^n$
   \item $\displaystyle \sum \frac{3^{n+1} \cdot 2^n}{(2n-1)!}$
   \item $\displaystyle \sum \left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n^2}$
   \item * $\sum \frac{2^n \cdot n!}{n^n}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item \underline{Összehasonlító kritérium} Konvergens-e az alábbi sor?
\begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
   \item $\displaystyle \sum \frac{2}{\sqrt{n+1}}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{1}{2n+3}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{1}{(2n+1)^2}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{1}{n\sqrt{n^2+1}}$
   \item $\displaystyle \sum \frac{\sin^2 n}{n^3}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\parbox[t]{5.5cm}{%
 \item \underline{Leibnitz sor}: Leibnitz sor-e?  
  \begin{enumerate}
     \item $\displaystyle \sum \frac{2+(-2)^n}{n^2}$
     \item $\displaystyle \sum \left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$
     \item $\displaystyle \sum \frac{(-3)^n}{n!}$
  \end{enumerate}}
\parbox[t]{9cm}{
~\\Hány tagot kell összeadni, ha az ismeretlen sorösszeget $\frac{1}{100}$ pontossággal akarjuk közelíteni?
        Adja meg azt a közelítő értéket!
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	 \item[(d)] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2}{(n+1)(n+2)}$
	 \item[(e)] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
	 \item[(f)] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{\cos n}{n^2+2} $
  \end{enumerate}
\end{multicols}}
\end{enumerate}

\end{document}
